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Simplificando, obtemos:
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido).
Cidade A = x
Cidade B = y
x + y = 200 000
Substituindo x = 3y
x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000
Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000
População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes
x notas de 20 reais y notas de 5 reais
Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140
x + y = 10
20x + 5y = 140
Aplicar método da substituição
Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y
Pequenos: x
Grandes: y
x + y = 8
x + 1 = 2y
Isolando x na 1ª equação
x + y = 8
x = 8 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
x + 1 = 2y
(8 ? y) + 1 = 2y
8 ? y + 1 = 2y
9 = 2y + y
9 = 3y
3y = 9
y = 9/3
y = 3
Substituindo y = 3
x = 8 ? 3
x = 5
Peixes pequenos: 5
Peixes grandes: 3
Maior: x
Menor: y
2x + 3y = 16
x + 5y = 1
Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 ? 5y
Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 ? 5y) + 3y = 16
2 ? 10y + 3y = 16
- 7y = 16 ? 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y = - 2
- Urbanização
? Urbanização => crescimento da população urbana em detrimento da população rural e a instalação da infraestrutura que este processo demanda. ? Êxodo rural => deslocamento de pessoas da zona rural (campo) para a zona urbana (cidades). ?...
- Sociedade Européia
Sociedade Européia A distribuição da população européia é mais equilibrada em relação às demais regiões do globo, porém há repulsivos à fixação humana, determinam um subpovoamento em certas porções geográficas. É o caso da parte...
- Inequação
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b ? 0;ax + b ? 0. Onde a, b são números reais com a ? 0.Exemplos:-2x + 7 > 0...
- Geografia
Distribuição da populaçãoEm 2011, a Europa possuia 739 milhões de habitantes. O continente é o mais povoado do mundo mas não tem a maior população, que só não perde pra Oceania. A maneira que está distribuida a população na Europa está...
- Sistema De Equaçõs Do Segundo Grau
Exemplo 1 Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: x + y = 6 x = 6 ? y Substituindo o valor de x na 1ª equação: x² + y² = 20 (6 ? y)² + y² = 20 (6)² ? 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 36 ? 12y + y² + y² ? 20 = 0 16 ? 12y + 2y² = 0 2y²...
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192 
4x2 + 4xy = 192
4x2 + 4xy = 192Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 1
x2 +xy = 48 2
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim: 2x + y = 16 1
y = 16 - 2x
Substituindo y em 2 , temos:
x2 + x ( 16 - 2x) = 48
x 2 + 16x - 2x2 = 48
- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.
Multiplicando ambos os membros por -1. x2 - 16x + 48 = 0
x'=4 e x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura =2x = 2. 4 = 8m
Exercícios:
1) A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A?
2)Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
3)Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?
4)Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.
Respostas
1)A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A?
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido).
Cidade A = x
Cidade B = y
x + y = 200 000
Substituindo x = 3y
x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000
Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000
População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes
2)Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
x notas de 20 reais y notas de 5 reais
Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140
x + y = 10
20x + 5y = 140
Aplicar método da substituição
Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 ? y) + 5y = 140
200 ? 20y + 5y = 140
- 15y = 140 ? 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4
Substituindo y = 4
x = 10 ? 4
x = 6
20x + 5y = 140
20(10 ? y) + 5y = 140
200 ? 20y + 5y = 140
- 15y = 140 ? 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4
Substituindo y = 4
x = 10 ? 4
x = 6
3)Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?
Pequenos: x
Grandes: y
x + y = 8
x + 1 = 2y
Isolando x na 1ª equação
x + y = 8
x = 8 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
x + 1 = 2y
(8 ? y) + 1 = 2y
8 ? y + 1 = 2y
9 = 2y + y
9 = 3y
3y = 9
y = 9/3
y = 3
Substituindo y = 3
x = 8 ? 3
x = 5
Peixes pequenos: 5
Peixes grandes: 3
4)Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.
Maior: x
Menor: y
2x + 3y = 16
x + 5y = 1
Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 ? 5y
Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 ? 5y) + 3y = 16
2 ? 10y + 3y = 16
- 7y = 16 ? 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y = - 2
Substituindo y = - 2
x = 1 ? 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11
Os números são 11 e -2.
x = 1 ? 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11
Os números são 11 e -2.
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- Urbanização
? Urbanização => crescimento da população urbana em detrimento da população rural e a instalação da infraestrutura que este processo demanda. ? Êxodo rural => deslocamento de pessoas da zona rural (campo) para a zona urbana (cidades). ?...
- Sociedade Européia
Sociedade Européia A distribuição da população européia é mais equilibrada em relação às demais regiões do globo, porém há repulsivos à fixação humana, determinam um subpovoamento em certas porções geográficas. É o caso da parte...
- Inequação
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:ax + b > 0;ax + b < 0;ax + b ? 0;ax + b ? 0. Onde a, b são números reais com a ? 0.Exemplos:-2x + 7 > 0...
- Geografia
Distribuição da populaçãoEm 2011, a Europa possuia 739 milhões de habitantes. O continente é o mais povoado do mundo mas não tem a maior população, que só não perde pra Oceania. A maneira que está distribuida a população na Europa está...
- Sistema De Equaçõs Do Segundo Grau
Exemplo 1 Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: x + y = 6 x = 6 ? y Substituindo o valor de x na 1ª equação: x² + y² = 20 (6 ? y)² + y² = 20 (6)² ? 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 36 ? 12y + y² + y² ? 20 = 0 16 ? 12y + 2y² = 0 2y²...